Question

已知函數(shù)f（x）=|x+3|，g（x）=m-2|x-11|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，實(shí)數(shù)m的最大值為t．
（1）求實(shí)數(shù)m．
（2）已知實(shí)數(shù)x、y、z滿足2x²+3y²+6z²=a（a＞0），且x+y+z的最大值是

t

20

，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對值不等式的解法,二維形式的柯西不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）若2f（x）≥g（x+4）恒成立，可得m≤2（|x+3|+|x-7|），而由絕對值三角不等式可得 2（|x+3|+|x-7|）≥20，可得m≤20，由此求得m的最大值t．
（2）由柯西不等式可得[(

2

x)2+(

3

y)2+(

6

z)2]•[(

1

2

)2+(

1

3

)2+(

1

6

)2]≥(

2

x•

1

2

+

3

y•

1

3

 +

6

z•

1

6

)2，即a×1≥（x+y+z）²，即x+y+z≤

a

．再根據(jù) x+y+z的最大值是

t

20

=1，可得

a

=1，從而求得a的值．

解答： 解：（1）由題意可得g（x+4）=m-2|x+4-11|=m-2|x-7|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，
∴2|x+3|≥m-2|x-7|，即 m≤2（|x+3|+|x-7|）．
而由絕對值三角不等式可得 2（|x+3|+|x-7|）≥2|（x+3）-（x-7）|=20，
∴m≤20，故m的最大值t=20．
（2）∵實(shí)數(shù)x、y、z滿足2x²+3y²+6z²=a（a＞0），由柯西不等式可得
[(

2

x)2+(

3

y)2+(

6

z)2]•[(

1

2

)2+(

1

3

)2+(

1

6

)2]≥(

2

x•

1

2

+

3

y•

1

3

 +

6

z•

1

6

)2．
∴a×1≥（x+y+z）²，∴x+y+z≤

a

．
再根據(jù) x+y+z的最大值是

t

20

=1，∴

a

=1，∴a=1．

點(diǎn)評：本題主要考查絕對值三角不等式、柯西不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．