Question

11．已知函數(shù)f（x）=（x-a）lnx，（a≥0）．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，若直線y=2x+m與函數(shù)y=f（x）的圖象相切，求m的值；
（2）若f（x）在[1，2]上是單調(diào)減函數(shù)，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)函數(shù)，利用直線y=2x+m與函數(shù)y=f（x）的圖象相切，求切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求m的值；
（2）利用f（x）在[1，2]上是單調(diào)減函數(shù)，可得f′（x）=lnx+1-$\frac{a}{x}$，≤0在[1，2]上恒成立，分離參數(shù)，求最值，即可求得a的最小值；

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=xlnx，
∴f′（x）=lnx+1，
∵直線y=2x+m與函數(shù)y=f（x）的圖象相切，
∴斜率k=f′（x）=lnx+1=2，解得：x=2
∵f（e）=e，
∴切點(diǎn)為（e，e），
∴m=-e；
（2）∵f（x）=（x-a）lnx，求導(dǎo)，f′（x）=lnx+1-$\frac{a}{x}$，
∵f（x）在[1，2]上是單調(diào)減函數(shù)，
∴f′（x）=lnx+1-$\frac{a}{x}$≤0在[1，2]上恒成立
∴a≥xlnx+x在[1，2]上恒成立
令g（x）=xlnx+x，則g′（x）=lnx+2＞0
∴g（x）=xlnx+x在[1，2]上單調(diào)遞增
∴a≥g（2）=2ln2+2
∴a的最小值為2ln2+2；

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查恒成立問(wèn)題，考查分離參數(shù)求最值的應(yīng)用，屬于中檔題．