Question

已知函數(shù)f（x）=1-

x-1

ex

，g（x）=x-lnx．
（1）證明：g（x）≥1；
（2）證明：（x-lnx）f（x）＞1-

1

e2

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）對(duì)g（x）進(jìn)行求導(dǎo)，討論其單調(diào)性，確定其最小值來(lái)證明不等式．
（2）對(duì)f（x）單獨(dú)求導(dǎo)，討論其單調(diào)性，確定其最值，注意結(jié)合著（1）的結(jié)論，即x-lnx≥1，從而證明不等式．

解答： 解：（1）g′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

(x＞0)，
令g′（x）＞0，x＞1；令g′（x）＜0，0＜x＜1．
∴g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
∴g（x）_min=g（1）=1．
∴g（x）≥1．
（2）f′(x)=-

ex-(x-1)ex

e2x

=

x-2

ex

，
令f′（x）＞0，x＞2；令f′（x）＜0，0＜x＜2．
∴f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增．
∴f(x)min=f(2)=1-

1

e2

，
∴f(x)≥1-

1

e2

．（當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)）
又由（1）可知，g（x）=x-lnx≥1，（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)）
∴（x-lnx）f（x）＞1-

1

e2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是導(dǎo)數(shù)簡(jiǎn)單應(yīng)用的考查，在處理問(wèn)題時(shí)直接求導(dǎo)即可．值得一提的是，在第二問(wèn)中，先觀察不等式右邊的式子恰好是函數(shù)f（x）在x=2處的函數(shù)值，再結(jié)合著第一問(wèn)的結(jié)論，命題就不難證出了．