Question

設(shè)B、C是定點(diǎn)，且均不在平面α上，動(dòng)點(diǎn)A在平面α上，且sin∠ABC=

1

2

，則點(diǎn)A的軌跡為（　�。�

• A、圓或橢圓
• B、拋物線(xiàn)或雙曲線(xiàn)
• C、橢圓或雙曲線(xiàn)
• D、以上均有可能

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：以BC為軸線(xiàn)，B為頂點(diǎn)作圓錐面，使圓錐面的頂角為60°，則圓錐面上的任意一點(diǎn)與B連線(xiàn)，都能滿(mǎn)足∠ABC=
30°，用平面α截圓錐所得的交線(xiàn)即為點(diǎn)A的軌跡．

解答：解：以BC為軸線(xiàn)，B為頂點(diǎn)，頂角是60°（半頂角是30°），則A就是這個(gè)錐面與平面α的交線(xiàn)．
如果平面α只與圓錐面一面相交，如圖（1），

                        （1）
那么A的軌跡是圓或橢圓或拋物線(xiàn)；
如果A與圓錐面兩側(cè)都相交（圓錐面兩側(cè)指以B為頂點(diǎn)向上的圓錐和向下的圓錐，就像沙漏的形狀），
如圖（2），

則軌跡是雙曲線(xiàn)．
∴點(diǎn)A的軌跡為圓或橢圓或拋物線(xiàn)或雙曲線(xiàn)．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查學(xué)生的空間想象能力和思維能力，正確作出圖形是解答磁體的關(guān)鍵，是中檔題．