Question

已知f（x）=-

4+ 1 x2

，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點P_n（a_n，-

1

an+1

）在曲線y=f（x）上（n∈N^*），且a₁=1，a_n＞0．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，且滿足

Tn+1

an2

=

Tn

an+12

+（4n+1）（4n-3），問：當(dāng)b₁為何值時，數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)已知條件建立等量關(guān)系求出數(shù)列的通項公式．
（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步構(gòu)造型數(shù)列求出關(guān)系式，最后確定結(jié)果．

解答： 解：（1）已知f（x）=-

4+ 1 x2

，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點P_n（a_n，-

1

an+1

）在曲線y=f（x）上（n∈N^*），
則：-

1

an+1

=-

4+ 1 an2

所以：

1

an+12

-

1

an2

=4
即：數(shù)列{

1

an2

}是以

1

a12

為首項，4位公差的等差數(shù)列．

1

an2

=

1

an2

+4(n-1)
且a₁=1，a_n＞0．
則：an=

1

4n-3

（2）數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，且滿足

Tn+1

an2

=

Tn

an+12

+（4n+1）（4n-3），
所以：（4n-3）T_n+1=（4n+1）T_n+（4n+1）（4n-3），

Tn+1

4n+1

-

Tn

4n-3

=1
設(shè)：

Tn

4n-3

=cn
則：c_n+1-c_n=1
由于數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．
所以：

Tn

4n-3

=

T1

1

+(n-1)
T_n=（4n-3）[n+（b₁-1）]=An²+Bn（A，B≠0）時，數(shù)列為等差數(shù)列．
解得：T_n=（4n-3）[n+（b-1）]
=4n²+（4b₁-7）n+3（b₁-1）
進(jìn)一步解得：b₁=1

點評：本題考查的知識要點：利用遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式，構(gòu)造新數(shù)列求數(shù)列的通項公式，屬于中等題型．