Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+mx-m
（1）若函數(shù)f（x）＜0對(duì)任意x∈R都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在[-2，2]上的最大值為3，求實(shí)數(shù)m的值；
（3）是否存在整數(shù)a，b，使得不等式a≤f（x）≤b的解集恰好是[a，b]，若存在，求出滿足要求的所有a，b的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意得，△=m²-4m＜0，解出即可；
（2）f（x）=-x²+mx-m，討論當(dāng)

m

2

≥2，-2＜

m

2

＜2，

m

2

≤-2的情況，從而求出m的值；
（3）由題意得

f(a)=a f(b)=a a≤f(x)max≤b

，即

-a2+ma-m=a -b2+mb-m=a a≤ m2-4m 4 ≤b

，解出即可．

解答： 解：（1）由題意得，△=m²-4m＜0，
∴0＜m＜4；
（2）f（x）=-x²+mx-m
當(dāng)

m

2

≥2，即m≥4時(shí)，f(x)max=f(2)=-4+m=3，
∴m=7滿足條件
當(dāng)-2＜

m

2

＜2，即-4＜m＜4時(shí)，f(x)max=f(

m

2

)=

m2

4

-m=3，
∴m=-2或6（舍）
∴m=-2
當(dāng)

m

2

≤-2，即m≤-4時(shí)，f(x)max=f(-2)=-4-3m=3，
∴m=-

7

3

(舍)
綜上，m=7或-2；
（3）由題意得

f(a)=a f(b)=a a≤f(x)max≤b

，
即

-a2+ma-m=a -b2+mb-m=a a≤ m2-4m 4 ≤b

由

-a2+ma-m=a -b2+mb-m=a

，
得m=a+b，且ab=2a+b，
∴b=

2a

a-1

=2+

2

a-1

∵a，b是整數(shù)，∴a-1=±1或a-1=±2，
解得

a=0 b=0

或

a=-1 b=1

或

a=3 b=3

或

a=2 b=4

又∵a≤

m2-4m

4

≤b，a＜b，
∴存在

a=-1 b=1

或

a=2 b=4

滿足要求．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查參數(shù)的取值，考查分類討論思想，本題是一道綜合題．