Question

如圖，設(shè)P是圓O：x²+y²=a²上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P與x軸垂直的直線與x軸交于點(diǎn)Q，點(diǎn)M滿足a

QM

=b

QP

（a＞b＞c）．當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程，并指出曲線C為何種圓錐曲線；
（2）若S（m，n）為圓O上任意一點(diǎn)，求與直線mx+ny=1恒相切的定圓的方程；
（3）若S（m，n）為曲線C上的任意一點(diǎn)，且A（1，

3

2

），B（2，0）在曲線C上，請(qǐng)直接寫出與直線mx+ny=1恒相切的定曲線的方程（不必說(shuō)明理由）．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,直線與圓的位置關(guān)系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)點(diǎn)M（x，y），P（x₀，y₀），則Q（x₀，0），由a

QM

=b

QP

，（a＞b＞0），得a（x-x₀，y）=b（0，y₀），又P（x₀，y₀）是圓上任意一點(diǎn)，從而x02+y02=a2，由此能求出曲線C的方程．
（2）由對(duì)稱性，設(shè)所求定圓方程為x²+y²=r²，r＞0，由圓心O到直線l的距離得r=

1

m2+n2

，由此能求出與直線mx+ny=1恒相切的定圓的方程．
（3）由已知條件能寫出與直線mx+ny=1恒相切的定曲線的方程．

解答： 解：（1）設(shè)點(diǎn)M（x，y），P（x₀，y₀），則Q（x₀，0），
由a

QM

=b

QP

，（a＞b＞0），得a（x-x₀，y）=b（0，y₀），
∴

x0=x y0= ay b

，
又P（x₀，y₀）是圓上任意一點(diǎn)，
∴x02+y02=a2，
∴x²+（

a

b

y）²=a²，整理，得：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
∴曲線C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）．
該曲線是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，短軸長(zhǎng)為2b的橢圓．
（2）由對(duì)稱性，設(shè)所求定圓方程為x²+y²=r²，r＞0，
依題意，得圓心O到直線l的距離d=

1

m2+n2

，
∴r=

1

m2+n2

，
又∵S（m，n）是圓x²+y²=a²上任意一點(diǎn)，
∴m²+n²=a²，∴r=

1

a

，
∴與直線mx+ny=1恒相切的定圓的方程為x2+y2=

1

a2

．
（3）4x²+3y²=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平面向量、直線與圓、橢圓等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí)；考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想．