點(diǎn)Q位于直線x=-3右側(cè),且到點(diǎn)F(-1,0)與到直線x=-3的距離之和等于4.
(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡C;
(2)直線l過(guò)點(diǎn)M(1,0)交曲線C于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)P滿足,,又=(x,0),其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),求x的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,△PEF能否成為以EF為底的等腰三角形?若能,求出此時(shí)直線l的方程;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】分析:(1)由于題設(shè)條件中知Q位于直線x=-3右側(cè),且到點(diǎn)F(-1,0)與到直線x=-3的距離之和等于4,故可設(shè)出Q(x,y),利用距離之和等于建立方程,整理出動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡C的方程;
(2)先處理?xiàng)l件點(diǎn)P滿足,,又=(x,0),得出P是AB中點(diǎn),E是線段AB垂直平分線與X軸交點(diǎn),設(shè)出直線l的方程為y=k(x-1),代入軌跡C的方程得到:k2x2+(4-2k2)x+k2=0(-3<x≤0)(*)找出l與C有兩個(gè)不同交點(diǎn)的條件,解出引入的參數(shù)k的取值范圍,再由根與系數(shù)的關(guān)系解出AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)(用k表示),得出直線EP的方程,再研究E點(diǎn)的橫坐標(biāo)求出x的取值范圍;
(3)不妨先假設(shè)可以,則須有2xP=xE+xF,即:,解得:,這與(2)中的條件矛盾,即可說(shuō)明這樣的直線不存在
解答:解:(1)Q(x,y),則|QF|+x+3=4(x>-3),即:,化簡(jiǎn)得:y2=-4x(-3<x≤0).
所以,動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為拋物線y2=-4x位于直線x=-3右側(cè)的部分.…(4分)
(2)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103173021944482329/SYS201311031730219444823018_DA/7.png">,所以,P為AB中點(diǎn);又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103173021944482329/SYS201311031730219444823018_DA/8.png">,且=(x,0),所以,點(diǎn)E為線段AB垂直平分線與x軸交點(diǎn).
由題可知:直線l與x軸不垂直,所以可設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),代入軌跡C的方程得到:k2x2+(4-2k2)x+k2=0(-3<x≤0)(*)
設(shè)f(x)=k2x2+(4-2k2)x+k2,要使得l與C有兩個(gè)不同交點(diǎn),需且只需
解之得:
由(*)式得:,所以,AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為:,
所以,直線EP的方程為
令y=0得到點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103173021944482329/SYS201311031730219444823018_DA/17.png">,所以,xE∈(,-3).…(10分)
(3)不可能.…(11分)
要使△PEF成為以EF為底的等腰三角形,需且只需2xP=xE+xF,即:,解得:
另一方面,要使直線l滿足(2)的條件,需要,所以,不可能使△PEF成為以EF為底的等腰三角形.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查求軌跡方程,解題的關(guān)鍵是理解題意,由題設(shè)中所給的等量關(guān)系建立方程求出軌跡方程,本題第二小題的求解要注意位置關(guān)系與方程的轉(zhuǎn)化,由此得出兩曲線有兩個(gè)交點(diǎn)的條件,從而研究出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍,本題中第三小題的求解用到了反證法的思想,先假設(shè)問(wèn)題成立,由此出發(fā)推出矛盾,本題綜合性強(qiáng),轉(zhuǎn)化靈活,涉及到的知識(shí)方法較多,解題時(shí)要注意體會(huì)總結(jié)知識(shí)的用法技巧與轉(zhuǎn)化技巧,本題易因?yàn)椴恢趺崔D(zhuǎn)化而導(dǎo)致無(wú)法解題
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知點(diǎn)Q位于直線x=-3右側(cè),且到點(diǎn)F(-1,0)與到直線x=-3的距離之和等于4.
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡C的方程;
(Ⅱ)直線L過(guò)點(diǎn)M(1,0)且交曲線C于
A、B兩點(diǎn)(A、B不重合),點(diǎn)P滿足
FP
=
1
2
(
FA
+
FB
)且
EP
AB
=0
,其中點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x0,0),試求x0的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

點(diǎn)Q位于直線x=-3右側(cè),且到點(diǎn)F(-1,0)與到直線x=-3的距離之和等于4.
(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡C;
(2)直線l過(guò)點(diǎn)M(1,0)交曲線C于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)P滿足
FP
=
1
2
(
FA
+
FB)
,
EP
AB
=0
,又
OE
=(x0,0),其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),求x0的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,△PEF能否成為以EF為底的等腰三角形?若能,求出此時(shí)直線l的方程;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

點(diǎn)Q位于直線x=-3右側(cè),且到點(diǎn)F(-1,0)與到直線x=-3的距離之和等于4.
(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡C;
(2)直線l過(guò)點(diǎn)M(1,0)交曲線C于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)P滿足
FP
=
1
2
(
FA
+
FB)
,
EP
AB
=0
,又
OE
=(x0,0),其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),求x0的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,△PEF能否成為以EF為底的等腰三角形?若能,求出此時(shí)直線l的方程;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2006-2007學(xué)年北京市豐臺(tái)區(qū)高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知點(diǎn)Q位于直線x=-3右側(cè),且到點(diǎn)F(-1,0)與到直線x=-3的距離之和等于4.
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡C的方程;
(Ⅱ)直線L過(guò)點(diǎn)M(1,0)且交曲線C于
A、B兩點(diǎn)(A、B不重合),點(diǎn)P滿足,其中點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x,0),試求x的取值范圍.

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