Question

點Q位于直線x=-3右側，且到點F（-1，0）與到直線x=-3的距離之和等于4．
（1）求動點Q的軌跡C；
（2）直線l過點M（1，0）交曲線C于A、B兩點，點P滿足

FP

=

1

2

(

FA

+

FB)

，

EP

•

AB

=0，又

OE

=（x₀，0），其中O為坐標原點，求x₀的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，△PEF能否成為以EF為底的等腰三角形？若能，求出此時直線l的方程；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于題設條件中知Q位于直線x=-3右側，且到點F（-1，0）與到直線x=-3的距離之和等于4，故可設出Q（x，y），利用距離之和等于建立方程，整理出動點Q的軌跡C的方程；
（2）先處理條件點P滿足

FP

=

1

2

(

FA

+

FB)

，

EP

•

AB

=0，又

OE

=（x₀，0），得出P是AB中點，E是線段AB垂直平分線與X軸交點，設出直線l的方程為y=k（x-1），代入軌跡C的方程得到：k²x²+（4-2k²）x+k²=0（-3＜x≤0）（*）找出l與C有兩個不同交點的條件

△=(4-2k2)2-4k4＞0 -3＜ 4-2k2 -2k2 ＜0 f(-3)＞0 f(0)＞0

，解出引入的參數(shù)k的取值范圍，再由根與系數(shù)的關系解出AB中點P的坐標（用k表示），得出直線EP的方程，再研究E點的橫坐標求出x₀的取值范圍；
（3）不妨先假設可以，則須有2x_P=x_E+x_F，即：2(1-

2

k2

)=-1-

2

k2

-1，解得：k2=

1

2

，這與（2）中的條件矛盾，即可說明這樣的直線不存在

解答：解：（1）Q（x，y），則|QF|+x+3=4（x＞-3），即：

(x+1)2+y2

+x+3=4(x＞-3)，化簡得：y²=-4x（-3＜x≤0）．
所以，動點Q的軌跡為拋物線y²=-4x位于直線x=-3右側的部分．…（4分）
（2）因為

FP

=

1

2

(

FA

+

FB)

，所以，P為AB中點；又因為

EP

•

AB

=0，且

OE

=（x₀，0），所以，點E為線段AB垂直平分線與x軸交點．
由題可知：直線l與x軸不垂直，所以可設直線l的方程為y=k（x-1），代入軌跡C的方程得到：k²x²+（4-2k²）x+k²=0（-3＜x≤0）（*）
設f（x）=k²x²+（4-2k²）x+k²，要使得l與C有兩個不同交點，需且只需

△=(4-2k2)2-4k4＞0 -3＜ 4-2k2 -2k2 ＜0 f(-3)＞0 f(0)＞0

解之得：

3

4

＜k2＜1．
由（*）式得：xA+xB=

2k2-4

k2

，所以，AB中點P的坐標為：xP=

xA+xB

2

=1-

2

k2

，yP=k(xF-1)=-

2

k

．
所以，直線EP的方程為y+

2

k

=-

1

k

(x-1+

2

k2

)
令y=0得到點E的橫坐標為xE=-1-

2

k2

．
因為

3

4

＜k2＜1，所以，x_E∈（-

11

3

，-3）．…（10分）
（3）不可能．…（11分）
要使△PEF成為以EF為底的等腰三角形，需且只需2x_P=x_E+x_F，即：2(1-

2

k2

)=-1-

2

k2

-1，解得：k2=

1

2

．
另一方面，要使直線l滿足（2）的條件，需要

3

4

＜k2＜1，所以，不可能使△PEF成為以EF為底的等腰三角形．…（14分）

點評：本題考查求軌跡方程，解題的關鍵是理解題意，由題設中所給的等量關系建立方程求出軌跡方程，本題第二小題的求解要注意位置關系與方程的轉化，由此得出兩曲線有兩個交點的條件，從而研究出點的橫坐標的取值范圍，本題中第三小題的求解用到了反證法的思想，先假設問題成立，由此出發(fā)推出矛盾，本題綜合性強，轉化靈活，涉及到的知識方法較多，解題時要注意體會總結知識的用法技巧與轉化技巧，本題易因為不知怎么轉化而導致無法解題