Question

15．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+2co{s}^{2}\frac{x}{2}$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （I）利用二倍角公式及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知可得f（x）=$2sin（x+\frac{π}{6}）+1$，由周期公式即可得解．
（II）由$2kπ+\frac{π}{2}≤x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，k∈Z，即可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答 （本小題滿分13分）
解：（I）由已知可得：$f（x）=\sqrt{3}sinx+cosx+1$=$2sin（x+\frac{π}{6}）+1$．
所以f（x）的最小正周期為2π．…（7分）
（II）由$2kπ+\frac{π}{2}≤x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，k∈Z，
得$2kπ+\frac{π}{3}≤x≤2kπ+\frac{4π}{3}$，k∈Z．
因此函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為$[2kπ+\frac{π}{3}，2kπ+\frac{4π}{3}]$，k∈Z．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)周期公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．