Question

已知函數(shù)，，（）
（1）當(dāng) ≤≤時(shí)，求的最大值；
（2）若對(duì)任意的，總存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）問取何值時(shí)，方程在上有兩解？

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，；（2）或；（3）或。

試題分析：（1）
設(shè)，則
∴
∴當(dāng)時(shí)，
（2）當(dāng)   ∴值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011748537524.png" style="vertical-align:middle;" />
當(dāng)時(shí)，則
有
①當(dāng)時(shí)，值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011748630569.png" style="vertical-align:middle;" />
②當(dāng)時(shí)，值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011748677583.png" style="vertical-align:middle;" />
而依據(jù)題意有的值域是值域的子集
則   或  
∴或
（3）化為
在上有兩解，
令 則t∈
在上解的情況如下：
①當(dāng)在上只有一個(gè)解或相等解，
有兩解或
∴或
②當(dāng)時(shí)，有惟一解
③當(dāng)時(shí)，有惟一解
故 或   
點(diǎn)評(píng)：中檔題，本題綜合考查三角函數(shù)的和差倍半公式，三角函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)。應(yīng)用三角公式對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，以便于利用其它知識(shí)解題，是這類題的顯著特點(diǎn)。本題利用“換元法”，將問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)問題。在解方程的過程中，要特別注意解答范圍。