已知函數(shù)f(x)=alnx-ax-3(a∈R).
(1)當a=1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象在點(2,f(2))處的切線的傾斜角為45°,問:m在什么范圍取值時,函數(shù)在區(qū)間(2,3)上總存在極值?
(3)當a=2時,設函數(shù),若對任意地x∈[1,2],f(x)≥g(x)恒成立,求實數(shù)p的取值范圍.
【答案】分析:(1)求出f′(x)把a=1代入到f′(x),令f′(x)>0時,得到函數(shù)的遞增區(qū)間;令f′(x)<0時,得到函數(shù)的遞減區(qū)間;(2)因為函數(shù)y=f(x)的圖象在點(2,f(2))處的切線的傾斜角為45°,得到f′(2)=1求出a的值代入到中化簡,求出導函數(shù),因為函數(shù)在(2,3)上總存在極值得到解出m的范圍記即可;
(3)設F(x)=f(x)-g(x),求出導函數(shù),討論ρ的范圍得到函數(shù)的增減性,因為對任意地x∈[1,2],f(x)≥g(x)恒成立,得到ρ的取值范圍.
解答:解:
(1)當a=1時,
令f′(x)>0時,解得0<x<1,所以f(x)在(0,1)遞增;
令f′(x)<0時,解得x>1,所以f(x)在(1,+∞)遞減.
(2)因為函數(shù)y=f(x)的圖象在點(2,f(2))處的切線的傾斜角為45°,
所以f′(2)=1,所以a=-2,
,g′(x)=3x2+(4+m)x-2,
因為對于任意的t∈[1,2],函數(shù)在區(qū)間(t,3)上,
總存在極值,所以只需,解得
(3)設
當ρ=-1時,,∴遞增,所以F(1)=4>0成立;
時,不成立,(舍)
時,F(xiàn)(x)在[1,2]遞增,所以F(1)=-2p-2≥0,解得ρ≤-1
所以,此時ρ<-1和ρ=-1時,F(xiàn)(x)在[1,2]遞增,成立;ρ>-1時,均不成立.
綜上,ρ≤-1
點評:考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程的能力,會根據(jù)直線的傾斜角求直線的斜率,理解函數(shù)恒成立取到的條件.
練習冊系列答案
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a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當a∈[-2,
1
4
)
時,求f(x)的最大值;
(2)設g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點的連線的斜率,否存在實數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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34
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(-∞,-2)
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