Question

11．上海市復興高級中學二期改擴建工程于2015年9月正式開始，現需要圍建一個面積火900平方米的矩形地場地的圍墻，有一面長度為20米的舊墻（圖中斜杠部），有甲、乙兩種維修利用舊墻方案．
甲方案：選取部分舊墻（選取的舊墻的長度設為x米，x∈（0，20]），維修后單獨作為矩形場地的一面圍墻（如方案①圖），多余部分不維修；
乙方案：舊墻全部利用維修后，再續(xù)建一段新墻（新墻的長度高x米），共同作為矩形場地的一面（如方案②圖）
已知舊墻維修費用為10元/米，新墻造價為80元/米，設修建總費用y．
（1）如果按甲方案修建，試用解析式將修建總費用y₁表示成關于x的函數；
（2）如果按乙方案修建，試用解析式將修建總費用y₂表示成關于x的函數；
（3）試求出兩種方案中修建總費用y₁，y₂的最小值，并比較哪種方案最節(jié)省費用？

Answer 1

分析 （1）設選取x米長的舊墻，求得矩形的另一邊為$\frac{900}{x}$米，由題意，可得修建費用y₁=10x+80x+$\frac{2×900×80}{x}$，整理，運用的單調性，可得最小值；
（2）設靠舊墻的一邊長為x米，其中舊墻為a米，求得矩形的另一邊為$\frac{900}{x}$米，由題意，可得修建費用y₂=200+80（x-20）+80x+$\frac{2×900×80}{x}$；
（3）y₁=10x+80x+$\frac{2×900×80}{x}$，整理，運用的單調性，可得最小值；y₂=200+80（x-20）+80x+$\frac{2×900×80}{x}$，整理，運用基本不等式可得最小值，即可判斷．

解答 解：（1）設選取x米長的舊墻，則矩形的另一邊為$\frac{900}{x}$米，
由題意，可得修建費用y₁=10x+80x+$\frac{2×900×80}{x}$
=90（x+$\frac{1600}{x}$）（0＜x≤20）；
（2）設靠舊墻的一邊長為x米，其中舊墻為20米，則矩形的另一邊為$\frac{900}{x}$米，
由題意，可得修建費用y₂=200+80（x-20）+80x+$\frac{2×900×80}{x}$
=160（x+$\frac{900}{x}$）-1400，（x≥20）；
（3）由y=x+$\frac{1600}{x}$在（0，20]遞減，可得y₁的最小值為9000元；可得x=30，y₂的最小值為8200元．
由y₁＞y₂，則乙方案更好．

點評 本題考查基本不等式在最值問題中的運用，解題的關鍵是正確審題，設出變量，求得函數的解析式及定義域，屬于中檔題．