Question

下列說法中：
①若函數(shù)f（x）=ax²+（2a+b）x+2（x∈[2a-1，a+4]）是偶函數(shù)，則實數(shù)b=2；
②f（x）表示-2x+2與-2x²+4x+2中的較小者，則函數(shù)f（x）的最大值為1；
③已知函數(shù)f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對任意的x，y∈R都滿足f（xy）=xf（y）+yf（x），則f（x）是奇函數(shù)；
④設(shè)lg2=a，lg3=b那么可以得到log56=

a+b

1-a

；
⑤函數(shù)f(x)=log2(3+2x-x2)的值域是（0，2），其中正確說法的序號是

①③④

（注：把你認為是正確的序號都填上）．

Answer 1

分析：利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得①是真命題；利用分段函數(shù)的單調(diào)性與圖象，可得②是假命題；利用賦值法，進行驗證可得③是真命題；根據(jù)對數(shù)的運算法則與換底公式，可得④是真命題；利用二次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)可得⑤是真命題．由此得到正確答案．

解答：解：對于①，∵f（x）=ax²+（2a+b）x+2是二次函數(shù)，且圖象關(guān)于直線x=-

2a+b

2a

對稱，
∴2a-1+a+4=0且-

2a+b

2a

=0，解之得a=-1，b=2，故①正確；
對于②，f（x）=

-2x+2   0≤x≤3 -2x2+4x+2   x＜0或x＞3

，
可得當x∈（∞，0）時，函數(shù)f（x）為增函數(shù)；當x∈（0，3）時，函數(shù)f（x）為減函數(shù)；
當x∈（3，+∞）時，函數(shù)f（x）為減函數(shù)
∴當x=0時，函數(shù)f（x）的最大值為f（0）=2，故②不正確；
對于③，對任意的x，y∈R都滿足f（xy）=xf（y）+yf（x），取x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1），所以f（1）=0
再取x=y=-1，得f（1）=-f（-1）-f（-1）=0，所以f（-1）=0，
最后取y=-1，得f（-x）=xf（-1）-f（x），所以f（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函數(shù)．故③正確；
對于④，lg2=a，lg3=b，則log₅6=

lg6

lg5

=

lg2+lg3

1-lg2

=

a+b

1-a

，故④正確；
對于⑤，因為0＜3+2x-x²=-（x-1）²+4≤4，
所以f(x)=log2(3+2x-x2)≤log₂4=2，故函數(shù)函數(shù)f(x)=log2(3+2x-x2)的值域是（-∞，2），故⑤不正確．
故答案為：①③④

點評：本題以命題真假的判斷為載體，著重考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性、對數(shù)的運算法則、復(fù)合函數(shù)的值域和抽象函數(shù)等知識點，屬于基礎(chǔ)題．