Question

已知函數(shù)f(n)=

-n2，n=2k(k∈Z) n2，n=2k-1(k∈Z)

，a_n=f（n）+f（n+1），則a₁+a₂+…+a₁₀₀=

 

．

Answer 1

分析：對(duì)通項(xiàng)a_n=f（n）+f（n+1）研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n=n²-（n+1）²=-2n-1，所有的奇數(shù)項(xiàng)組成一個(gè)首項(xiàng)為-3，公差為-2，項(xiàng)數(shù)為50的等差數(shù)列；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)a_n=-n²+（n+1）²=2n+1，故所有的偶數(shù)項(xiàng)組成一個(gè)首項(xiàng)為5，公差為2，項(xiàng)數(shù)為50的等差數(shù)列，將奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別求和，然后再相加求數(shù)列前100項(xiàng)的和．

解答：解：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n=n²-（n+1）²=-2n-1，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)a_n=-n²+（n+1）²=2n+1，
故所有的奇數(shù)項(xiàng)組成一個(gè)首項(xiàng)為-3，公差為-2，項(xiàng)數(shù)為50的等差數(shù)列；
所有的偶數(shù)項(xiàng)組成一個(gè)首項(xiàng)為5，公差為2，項(xiàng)數(shù)為50的等差數(shù)列．
由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn=（a₁-

d

2

）×n+

d

2

n²得S_奇=（-3+1）×50-50²=-350；
S_偶=（5-1）×50+50²=450
所以S₁₀₀=S_偶+S_奇=450-350=100
故應(yīng)填100

點(diǎn)評(píng)：本題是技巧型與能力型題，需要對(duì)數(shù)列形式進(jìn)行研究，根據(jù)數(shù)列的特征來選擇解題的方法，這是本題的特點(diǎn)．