已知函數(shù)f(n)=n2sin
nπ2
，且an=f（n）+f（n+1），則a1+a2+a3+…+a2014=
 
．
分析：依題意，可求得an=n2sin
nπ
2
+（n+1）2cos
nπ
2
，從而可求得a1=1，a2=a3=-32，…a2012=a2013=20132，a2014=-20152，通過分組求和即可求得答案．
解答：解：∵f（n）=n2sin
nπ
2
，
∴an=f（n）+f（n+1）=n2sin
nπ
2
+（n+1）2sin
(n+1)π
2
=n2sin
nπ
2
+（n+1）2cos
nπ
2
，
∴a1=1，
a2=a3=-32，
a4=a5=52，
a6=a7=-72，
…
a2012=a2013=20132，
a2014=-20152．
∴a1+a2+a3+…+a2014
=（a1+a3+…+a2013）+（a2+a4+…+a2014）
=[（1-32）+（52-72）+…+（20092-20112）+20132]+[（-32+52）+（-72+92）+…+（-20112+20132）-20152]
=-2（4+12+20+…+4020）+20132+2（8+16+…+4024）-20152
=-2×
(4+4020)×503
2
+2×
(8+4024)×503
2
-20152+20132
=503×8-2×4028
=-4032．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的求和，求得a1=1，a2=a3=-32，…a2012=a2013=20132，a2014=-20152是關(guān)鍵，突出考查分組求和，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x-2
2x
+2（x≥2）
（Ⅰ）求反函數(shù)；
（Ⅱ）若數(shù)列{an}（an＞0）的前n項(xiàng)和Sn=f-1（Sn-1），（x≥2），且a1=2求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ） 令bn=
an+1 -an 
2anan+1
（n∈N），求
lim
n→∞
(b1+b2+…+bn-n)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，a∈R．
（I）當(dāng)a=-1時，求f（x）的最大值；
（II）對f（x）圖象上的任意不同兩點(diǎn)P1（x1，x2），P（x2，y2）（0＜x1＜x2），證明f（x）圖象上存在點(diǎn)P0（x0，y0），滿足x1＜x0＜x2，且f（x）圖象上以P0為切點(diǎn)的切線與直線P1P2平等；
（III）當(dāng)a=
32
時，設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足：an+1=f'（an）（n∈N*），若數(shù)列{a2n}是遞減數(shù)列，求a1的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：陜西省陜師大附中2012屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)文科試題 題型：044

已知函數(shù)f(x)＝x2－ax＋b·(a，b∈R)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且(1)＝1，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝f(n)(n∈N*)．

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)若數(shù)列{bn}滿足lon3bn＝an+1＋log3n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：黃州區(qū)模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，a∈R．
（I）當(dāng)a=-1時，求f（x）的最大值；
（II）對f（x）圖象上的任意不同兩點(diǎn)P1（x1，x2），P（x2，y2）（0＜x1＜x2），證明f（x）圖象上存在點(diǎn)P0（x0，y0），滿足x1＜x0＜x2，且f（x）圖象上以P0為切點(diǎn)的切線與直線P1P2平等；
（III）當(dāng)a=
3
2
時，設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足：an+1=f'（an）（n∈N*），若數(shù)列{a2n}是遞減數(shù)列，求a1的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年北京市豐臺區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=ax2+bx（a≠0）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）=-4x+22，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)Pn（n，Sn）（n∈N*）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an及前n項(xiàng)和Sn；
（Ⅱ）存在k∈N*，使得對任意n∈N*恒成立，求出k的最小值；
（Ⅲ）是否存在m∈N*，使得為數(shù)列{an}中的項(xiàng)？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

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