【題目】如圖,五面體中,,平面平面,平面平面.,,點P是線段上靠近A的三等分點.

(Ⅰ)求證:平面;

(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】(Ⅰ)證明見解析 (Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)根據(jù)題意,分別取,的中點MN,連接,.

由題可知,.設(shè),則,由平面平面,得平面,同理平面.,從而.,則平面;由,所以,所以是以為斜邊的等腰直角三角形,再由,得到.平面.,再由面面平行的判斷定理得到平面平面,從而得證。

(Ⅱ)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,,得到,.求得平面的一個法向量,再求得的坐標(biāo),利用線面角的向量法求解。

(Ⅰ)

如圖,分別取,的中點MN,連接,,,.

由題可知.設(shè),

易知,且.

因為平面平面,

所以平面.同理平面.

所以.

因為平面平面,

平面.

因為,

所以.

因為

所以,

所以是以為斜邊的等腰直角三角形,

所以,而,則.

因為平面,平面,

所以平面.

因為

所以平面平面.

因為平面,所以平面.

(Ⅱ)

如圖,連接,以P為原點,,所在直線分別為x軸,y軸,以過點P且垂直于平面的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè),

,,,,

所以.

設(shè)為平面的一個法向量,

,則,即.

易知.

設(shè)直線與平面所成的角為.

即直線與平面所成角的正弦值為.

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