Question

16．如圖，矩形ABCD所在平面與直角三角形ABE所在平面互相垂直，AE⊥BE，點(diǎn)M，N分別是AE，CD的中點(diǎn)．
（1）求證：MN∥平面BCE；
（2）求證：平面BCE⊥平面ADE．

Answer 1

分析 （1）取BE中點(diǎn)F，連接CF，MF．欲證明MN∥平面BCE，只需推知MN∥CF，所以根據(jù)三角形中位線定理和平行四邊形的判定與性質(zhì)得到：平行四邊形MNCF的對(duì)邊平行-MN∥CF；
（2）根據(jù)“如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直”證得結(jié)論．

解答 證明：（1）取BE中點(diǎn)F，連接CF，MF，
又∵M(jìn)是AE中點(diǎn)，
∴$MF∥AB，MF=\frac{1}{2}AB$，
又∵N是矩形ABCD邊CD中點(diǎn)，
∴MF∥NC，MF=NC，
∴四邊形MNCF是平行四邊形，
∴MN∥CF，
又∵M(jìn)N?平面BCE，CF?面BCE，
∴MN∥平面BCE；
（2）∵平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，
∴BC⊥平面ABE，
∵AE?平面ABE，
∴BC⊥AE，
又∵AE⊥BE，BC∩BE=B，
∴AE⊥平面BCE，而AE?平面ADE，
∴平面BCE⊥平面ADE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定．要求熟練掌握相關(guān)的平面與平面、直線與平面判定定理和三角形中位線定理．