Question

【題目】過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交地物線(xiàn)于點(diǎn)A．B（其中點(diǎn)A在第一象限），交其準(zhǔn)線(xiàn)l于點(diǎn)C，同時(shí)點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)

（1）求直線(xiàn)AB的傾斜角；

（2）求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】

（1）由點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，結(jié)合拋物線(xiàn)的定義可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，由此可得直線(xiàn)的AB斜率，從而可求出直線(xiàn)AB的傾斜角；

（2）將直線(xiàn)方程和拋物線(xiàn)方程聯(lián)立成方程組求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦公式可求得AB的長(zhǎng).

解：（1）由題可知，準(zhǔn)線(xiàn)l的方程為，

設(shè)A，B在準(zhǔn)線(xiàn)上的投影分別為，準(zhǔn)線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，則，

因?yàn)?/span>F是AC的中點(diǎn)，所以,

所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3，

當(dāng)時(shí)，，由于點(diǎn)A在第一象限，

所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為，

設(shè)直線(xiàn)AB的傾斜角為，則，

因?yàn)?/span>，所以，

（2）直線(xiàn)AB的方程為，

由，得，

解得，

所以點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，

所以