若橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距為2
5
，且過點(diǎn)（-3，2），⊙O的圓心為原點(diǎn)，直徑為橢圓的短軸，⊙M的方程為（x-8）2+（y-6）2=4，過⊙M上任一點(diǎn)P作⊙O的切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線PA與⊙M的另一交點(diǎn)為Q，當(dāng)弦PQ最大時(shí)，求直線PA的直線方程；
（3）求
OA
•
OB
的最大值．
（1）由橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距為2
5
，且過點(diǎn)（-3，2），∴
9
a2
+
4
b2
=1
2c=2
5
a2=b2+c2
，
解得
c=
5
b2=10
a2=15
，
∴橢圓的方程為
x2
15
+
y2
10
=1．
（2）∵⊙O的圓心為原點(diǎn)，直徑為橢圓的短軸，∴⊙O的方程為x2+y2=10．
當(dāng)弦PQ最大時(shí)，即PQ是⊙M的直徑，
設(shè)直線PA的方程為y-6=k（x-8），即kx-y+6-8k=0．
∵直線PA與⊙O相切，∴點(diǎn)O到直線PA的距離d=
10
，
∴
|6-8k|
k2+1
=
10
，解得k=
1
3
或
13
9
．
∴直線PA的方程為
1
3
x-y+6-
8
3
=0，或
13
9
x-y+6-
104
9
=0，
化為x-3y+10=0，或13x-9y-50=0．
（3）設(shè)∠AOB=2θ，∵θ∈(0，
π
2
)，∴2θ∈（0，π）．
OA
•
OB
=|
OA
||
OB
|cos∠AOB=10cos2θ，
∵2θ∈（0，π），∴cos2θ在θ∈(0，
π
2
)上單調(diào)遞減，
因此當(dāng)θ取得最小值時(shí)，cos2θ取得最大值．
∵cosθ=
10
OP
，∴當(dāng)OP取得最小值時(shí)，cosθ取得最大值．
當(dāng)P點(diǎn)取OM與⊙M的交點(diǎn)時(shí)，OP取得最小值．
又|OP|=|OM|-2=
62+82
-2=8．
∴cosθ=
10
8
，cos2θ=2cos2θ-1=-
11
16
．
∴
OA
•
OB
取得最大值10×(-
11
16
)=-
55
8
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)A1、A2在x軸上，離心率e=
21
3
的雙曲線過點(diǎn)P（6，6）．
（1）求雙曲線方程．
（2）動(dòng)直線l經(jīng)過△A1PA2的重心G，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)M、N，問：是否存在直線l，使G平分線段MN，證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

若點(diǎn)（3，1）是拋物線y2=2px（p＞0）的一條弦的中點(diǎn)，且這條弦所在直線的斜率為2，則p=______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C的漸近線為y=±
3
x且過點(diǎn)M（1，
2
）．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線y=ax+1與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA與OB垂直，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，從橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)F1，又點(diǎn)A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)，且AB∥OP，|F1A|=
10
+
5
，
（1）求橢圓E的方程．
（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)C，D，且
OC
⊥
OD
？若存在，寫出該圓的方程，并求|CD|的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C1：
x2
2
+y2=1和圓C2：x2+y2=1，左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)分別為A，B，且F是橢圓C1的右焦點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)P是曲線C2上位于第二象限的一點(diǎn)，且△APF的面積為
1
2
+
2
4
，求證：AP⊥OP；
（2）點(diǎn)M和N分別是橢圓C1和圓C2上位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，且直線BN的斜率是直線BM斜率的2倍，求證：直線MN恒過定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓E：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的離心率e=
3
2
，直線x=2t（t＞0）與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)M、N，以線段MN為直徑作圓C，圓心為C
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）當(dāng)圓C與y軸相切的時(shí)候，求t的值；
（Ⅲ）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OMN面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，已知焦距為4的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)左、右頂點(diǎn)分別為A、B，橢圓C的右焦點(diǎn)為F，
過F作一條垂直于x軸的直線與橢圓相交于R、S，若線段RS的長(zhǎng)為
10
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)Q（t，m）是直線x=9上的點(diǎn)，直線QA、QB與橢圓C分別交于點(diǎn)M、N，求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知點(diǎn)P（x，y）滿足橢圓方程2x2+y2=1，則
y
x-1
的最大值為______．

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同步練習(xí)冊(cè)答案