Question

已知函數(shù)f（x）=2-sin（2x+

π

6

）-2sin²x，x∈[0，

π

2

]
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（

B

2

）=1，b=1，c=

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)解析式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)x的范圍求出這個角的范圍，利用余弦函數(shù)的值域即可確定出f（x）的值域；
（2）根據(jù)f（

B

2

）=1，以及f（x）解析式求出B的度數(shù)，再由b與c的值，利用正弦定理求出sinC的值，進而確定出C的度數(shù)，根據(jù)三角形的形狀即可確定出a的值．

解答：解：（1）f（x）=2-（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）-1+cos2x=1+cos2x-

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+1=cos（2x+

π

3

）+1，
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
∴cos（2x+

π

3

）∈[-1，

1

2

]，
則函數(shù)f（x）的值域是[0，

3

2

]；
（2）由f（

B

2

）=1得cos（B+

π

3

）+1=1，即cos（B+

π

3

）=0，
∵B為三角形內(nèi)角，即0＜B＜π，
∴

π

3

＜B+

π

3

＜

4π

3

，
∴B+

π

3

=

π

2

，即B=

π

6

，
∵b=1，c=

3

，
∴由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

得：sinC=

csinB

b

=

3

2

，
∴C=

π

3

或

2π

3

，
當(dāng)C=

π

3

時，A=

π

2

，從而利用勾股定理得a=

b2+c2

=2；
當(dāng)C=

2π

3

時，A=

π

6

，由B=

π

6

，得到a=b=1，
則a的值為2或1．

點評：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．