Question

8．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x-4）=-f（x），且x∈[0，2]時，f（x）=log₂（x+1），給出下列結(jié)論：
①f（3）=1；②函數(shù)f（x）在[-6，-2]上是增函數(shù)；③函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱；④若m∈（0，1），則關(guān)于x的方程f（x）-m=0在[-8，16]上的所有根之和為12．
則其中正確的命題為①④．

Answer 1

分析 對于①，利用賦值法，取x=1，得f（3）=-f（1）=1即可判斷；
對于③由f（x-4）=f（-x）得f（x-2）=f（-x-2），即f（x）關(guān)于直線x=-2對稱，
對于②結(jié)合奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同，可得f（x）在[-2，2]上為增函數(shù)，利用函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=-2對稱，可得函數(shù)f（x）在[-6，-2]上是減函數(shù)；
對于④若m∈（0，1），則關(guān)于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上有4個根，其中兩根的和為-6×2=-12，另兩根的和為2×2=4，故可得結(jié)論．

解答 解：取x=1，得f（1-4）=-f（1）=-log₂（1+1）=-1，所以f（3）=-f（1）=1，故①的結(jié)論正確；
∵f（x-4）=-f（x），則f（x+4）=-f（x），即f（x-4）=f（x+4）
定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x-4）=-f（x），則f（x-4）=f（-x），
∴f（x-2）=f（-x-2），
∴函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=-2對稱，故③的結(jié)論不正確；
又∵奇函數(shù)f（x），x∈[0，2]時，f（x）=log₂（x+1）為增函數(shù)，
∴x∈[-2，2]時，函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，
∵函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=-2對稱，
∴函數(shù)f（x）在[-6，-2]上是減函數(shù)，故②的結(jié)論不正確；
若m∈（0，1），則關(guān)于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上有4個根，其中兩根的和為-6×2=-12，另兩根的和為2×2=4，所以所有根之和為-8．故④正確
故答案為：①④．

點評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、對稱性等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．