Question

13．已知直線l：y=ax+1-a（a∈R）．若存在實(shí)數(shù)a使得一條曲線與直線l有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且以這兩個(gè)交點(diǎn)為端點(diǎn)的線段長度恰好等于|a|，則稱此曲線為直線l的“絕對(duì)曲線”．下面給出四條曲線：
①y=-2|x-1|②y=x²③（x-1）²+（y-1）²④x²+3y²=4
其中，可以被稱為直線l的“絕對(duì)曲線”的是②③④．（請(qǐng)將符合題意的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析 若存在實(shí)數(shù)a使得一條曲線與直線l有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且以這兩個(gè)交點(diǎn)為端點(diǎn)的線段長度恰好等于|a|，則稱此曲線為直線l的“絕對(duì)曲線”，分別進(jìn)行判定是否垂直a即可．

解答 解：①由直線y=ax+1-a，可知此直線過點(diǎn)A（1，1），y=-2|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}-2x+2，x≥1\\ 2x-2，x＜1\end{array}\right.$，
如圖所示，
直線l與函數(shù)y=-2|x-1|的圖象只能由一個(gè)交點(diǎn)，故不是“絕對(duì)曲線”；
②y=x²與l：y=ax+1-a聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y={x}^{2}\\ y=ax+1-a\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}x=a-1\\ y=（a-1）^{2}\end{array}\right.$，
此兩個(gè)交點(diǎn)的距離 $\sqrt{（a-2）^{2}+（{a}^{2}-2a）^{2}}$=|a|，化為（a-2）²（1+a²）-a²=0，
令f（a）=（a-2）²（1+a²）-a²，則f（1）=2-1=1＞0，f（2）=0-4＜0，因此函數(shù)f（a）在區(qū)間（1，2）內(nèi)存在零點(diǎn)，即方程（a-2）²（1+a²）-a²=0，有解．
故此函數(shù)的圖象是“絕對(duì)曲線”；
③（x-1）²+（y-1）²=1是以（1，1）為圓心，1為半徑的圓，此時(shí)直線l總會(huì)與此圓由兩個(gè)交點(diǎn)，且兩個(gè)交點(diǎn)的距離是圓的直徑2，∴存在a=±2滿足條件，故此函數(shù)的圖象是“絕對(duì)曲線”；
④把直線y=ax+1-a代入x²+3y²=4得（3a²+1）x²+6a（1-a）x+3（1-a）²-4=0，
∴x₁+x₂=$\frac{-6a（1-a）}{3{a}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{3（1-a）^{2}-4}{3{a}^{2}+1}$．
若直線l被橢圓截得的弦長是|a|，則a²=（1+a²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=（1+a²）{ $[\frac{-6a（1-a）}{3{a}^{2}+1}]^{2}$-4×$\frac{3（1-a）^{2}-4}{3{a}^{2}+1}$}，
化為 $\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}+1}$-${（\frac{6a+2}{3{a}^{2}+1}）}^{2}$=0，
令f（a）=，而f（1）=$\frac{1}{2}$-4＜0，f（3）=$\frac{9}{10}$-$\frac{25}{49}$＞0．
∴函數(shù)f（a）在區(qū)間（1，3）內(nèi)有零點(diǎn)，即方程f（a）=0有實(shí)數(shù)根，而直線l過橢圓上的定點(diǎn)（1，1），當(dāng)a∈（1，3）時(shí)，直線滿足條件，即此函數(shù)的圖象是“絕對(duì)曲線”．
綜上可知：能滿足題意的曲線有②③④．
故答案為：②③④

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的運(yùn)用，屬于難題．