Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在x=1處的切線斜率；
（2）若函數(shù)f（x）在x∈（0，e]上的最大值為-3；求a的值；
（3）設(shè)g（x）=x²-2x+2，若對(duì)任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與切線斜率的關(guān)系，容易求出函數(shù)f（x）在x=1處的切線斜率．
（2）討論f（x）在（0，e]上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求f（x）的最大值，這樣便可求出a的值．
（3）通過已知條件知：只要使f（x）在（0，+∞）上的最大值小于g（x）在[0，1]的最大值，便能滿足條件，從而分別求f（x），g（x）的最大值，這便可得到關(guān)于a的不等式，解不等式即可得a的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=2x+lnx，f′（x）=2+

1

x

；
∴f′（1）=3；
∴曲線y=f（x）在x=1處的切線斜率為3．
（2）f′（x）=a+

1

x

=

ax+1

x

，x＞0；
①當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在（0，e]上單調(diào)遞增；
∴f_max（x）=f（e）=ae+1=-3，∴a=-

4

e

＜0（舍去）；
②當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）=

a(x+ 1 a )

x

；
若0＜-

1

&;a＜e，即a＜-

1

e

，在(0，-

1

&;a)上f′（x）＞0；在(-

1

&;a，e]上f′（x）＜0；
∴fmax(x)=f(-

1

a

)=-1+ln(-

1

a

)=-3，∴a=-e²；
若-

1

&;a≥e，即；a≥-

1

e

a≥-

1

e

，在（0，e]上f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在（0，e]上單調(diào)遞增；
∴f_max（x）=f（e）=ae+1=-3，∴a=-

4

e

＜-

1

e

（舍去）．
綜上得a=-e²．
（3）由已知轉(zhuǎn)化為f_max（x）＜g_max（x）；
g（x）=（x-1）²+1，∴在[0，1]上g_max（x）=2；
由（2）知，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，存在f（e²）=ae²+2＞2，（舍去）；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（0，-

1

a

）上單調(diào)遞增，在（-

1

a

，+∞）上單調(diào)遞減；
∴fmax(x)=f(-

1

a

)=-1-ln(-a)；
∴-1-ln（-a）＜2   解得a＜-

1

e3

．
∴a的取值范圍是（-∞，-

1

e3

）．

點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與切線斜率的關(guān)系，函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最大值，二次函數(shù)的最大值，第三問，由已知條件得出f_max（x）＜g_max（x）是求解本問的關(guān)鍵．