Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，滿(mǎn)足f（

1

2

）=2，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，n有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，當(dāng)x＞-

1

2

時(shí)，f（x）＞0．
（1）求f（-

1

2

）的值；
（2）求證f（x）在定義域R上是單調(diào)遞增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由于對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，n，有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，令m=n=0，求出f（0）；再令m=

1

2

，n=-

1

2

，可求出f（-

1

2

）．
（2）當(dāng)x＞-

1

2

時(shí)，f（x）＞0．即x+

1

2

＞0，證得f（x+

1

2

）＞1，即有x＞0時(shí)，f（x）＞1．設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＞1，由條件即證得f（x₂）＞f（x₁）．再由單調(diào)性定義，即可得證．

解答： （1）解：由于對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，n，有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，
令m=n=0，則f（0）=f（0）+f（0）-1，
即f（0）=1，
再令m=

1

2

，n=-

1

2

，則f（0）=f（

1

2

）+f（-

1

2

）-1=1，
由于f（

1

2

）=2，則f（-

1

2

）=0；
（2）證明：當(dāng)x＞-

1

2

時(shí)，f（x）＞0．即x+

1

2

＞0，
由于對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，n，有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，
則f（x+

1

2

）=f（x）+f（

1

2

）-1=f（x）+1＞1，
即有x＞0時(shí)，f（x）＞1．
設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＞1，
則由f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1，得
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）-1＞0，
即f（x₂）＞f（x₁）．
故f（x）在定義域R上是單調(diào)遞增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)及運(yùn)用，解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，同時(shí)考查函數(shù)的單調(diào)性，注意運(yùn)用定義證明，屬于中檔題．