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已知橢圓的兩個焦點和上下兩個頂點是一個邊長為2且∠F1B1F2為的菱形的四個頂點.
（1）求橢圓的方程；
（2）過右焦點F2 ，斜率為（）的直線與橢圓相交于兩點，A為橢圓的右頂點，直線、分別交直線于點、，線段的中點為，記直線的斜率為.求證:為定值.

(1)；（2）為定值.

解析試題分析：(1)由橢圓兩個焦點和上下兩個頂點是一個邊長為2且∠F1B1F2為的菱形的四個頂點可得，從而得到橢圓方程.（2）通過題目條件，將直線方程設出來，再將它與橢圓交點坐標設出來，即點，點，再分別表示出直線、的方程，令，得到點,，的坐標，再利用中點坐標公式得到線段的中點為的坐標，利用斜率公式即得到，通過聯立直線與橢圓方程，用韋達定理替換，，化簡之后即可證明為定值.本題利用“設而不求”達到證明的目的，充分利用韋達定理消去繁雜的未知數.這是解決帶有直線與圓錐曲線交點問題的常用的手段.
試題解析：(1)由條件知，    2分
故所求橢圓方程為.    4分

（2）設過點的直線方程為：，設點，點，
將直線方程代入橢圓：，
整理得：，    6分
因為點在橢圓內，所以直線和橢圓都相交，恒成立，且
    8分
直線的方程為：，直線的方程為：，令，
得點，，所以點的坐標.    9分
直線的斜率為.
.    11分
將代入上式得：
.
所以為定值.    14分
考點：1.橢圓的簡單幾何性質；2.直線與圓錐曲線的位置關系；3.斜率公式及直線方程.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知中心在原點的雙曲線的一個焦點是，一條漸近線的方程是。
（1）求雙曲線的方程；
（2）若以為斜率的直線與雙曲線相交于兩個不同的點，且線段的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求的取值范圍。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設拋物線的焦點為，其準線與軸的交點為，過點的直線交拋物線于兩點．
（1）若直線的斜率為，求證：；
（2）設直線的斜率分別為，求的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知拋物線的焦點為F過點的直線交拋物線于A，B兩點，直線AF，BF分別與拋物線交于點M，N

（1）求的值；
（2）記直線MN的斜率為，直線AB的斜率為 證明：為定值

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的左焦點為，右焦點為．

（Ⅰ）設直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點P，線段的垂直平分線交于點M，求點M的軌跡的方程；
（Ⅱ）設為坐標原點，取曲線上不同于的點，以為直徑作圓與相交另外一點，求該圓的面積最小時點的坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，焦距為，且經過點，直線交橢圓于不同的兩點A，B.
(1)求的取值范圍；，
(2)若直線不經過點，求證：直線的斜率互為相反數.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓（）右頂點與右焦點的距離為，短軸長為.
（I）求橢圓的方程；  
（II）過左焦點的直線與橢圓分別交于、兩點，若三角形的面積為，求直線的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓經過點離心率，直線的方程為.

(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)是經過右焦點的任一弦(不經過點)，設直線與直線相交于點，記的斜率分別為問:是否存在常數，使得若存在求的值；若不存在，說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知曲線C1的極坐標方程為ρcos（θ－）＝－1，曲線C2的極坐標方程為ρ＝2cos（θ－）．以極點為坐標原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系．
（Ⅰ）求曲線C2的直角坐標方程；
（Ⅱ）求曲線C2上的動點M到曲線C1的距離的最大值．

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