Question

如圖：橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

1

2

，橢圓上點(diǎn)到直線l：x=4的最短距離為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）AB是經(jīng)過右焦點(diǎn)F的任一弦，P是直線l上的任意點(diǎn)，記PA，PF，PB的斜率分別為k₁，k₂，k₃．問：是否存在常數(shù)λ，使得k₁+k₃=λk₂？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：求橢圓C的方程即確定a，b，c；設(shè)出直線AB的方程并與橢圓方程聯(lián)立，用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)，求出λ的值．

解答： 解：（1）由題意得4-a=2，∴a=2
∵e=

c

a

=

1

2

，∴c=1，b²=3；
∴橢圓C的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設(shè)P（4，m），直線AB的方程為x=ty+1；
代入

x2

4

+

y2

3

=1消去x化簡(jiǎn)得，
（3t²+4）y²+6ty-9=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則由韋達(dá)定理知，y1+y2=-

6t

3t2+4

 ，y1y2=-

9

3t2+4

；
∴k1+k3=

y1-m

x1-4

+

y2-m

x2-4

=

y1-m

ty1-3

+

y2-m

ty2-3

=

(y1-m)(ty2-3)+(y2-m)(ty1-3)

(ty1-3)(ty2-3)

=

2ty1y2-(3+mt)(y1+y2)+6m

t2y1y2-3t(y1+y2)+9

=

2

3

m
又∵k2=

m

4-1

=

m

3

∴k₁+k₃=2k₂，
則λ=2．

點(diǎn)評(píng)：本題第一問比較簡(jiǎn)單，第2問要注意借助韋達(dá)定理簡(jiǎn)化運(yùn)算．