Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AB=AC=1，點(diǎn)P是棱BB1上一點(diǎn)，滿足 （0≤λ≤1）．

（1）若λ= ，求直線PC與平面A1BC所成角的正弦值；
（2）若二面角P﹣A1C﹣B的正弦值為 ，求λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)O，分別以AB，AC，AA1所在直線為x軸、y軸、z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．

∵AB=AC=1，AA1=2，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），

A1（0，0，2），B1（1，0，2），P（1，0，2λ）

由 得， ， ， ，

設(shè)平面A1BC的法向量為 =（x1，y1，z1），由 ，得

取z1=1，則x1=y1=2，從而平面A1BC的一個(gè)法向量為 =（2，2，1）．

設(shè)直線PC與平面A1BC所成的角為θ，

則sinθ=|cos＜ , ＞|= = ，

∴直線PC與平面A1BC所成的角的正弦值為

（2）解：設(shè)平面PA1C的法向量為 =（x2，y2，z2）， ，

由 ，得

取z2=1，則x2=2﹣2λ，y2=2，平面PA1C的法向量為 =（2﹣2λ，2，1）．

則cos＜ , ＞= = ，

又∵二面角P﹣A1C﹣B的正弦值為 ，∴

化簡(jiǎn)得λ2+8λ﹣9=0，解得λ=1或λ=﹣9（舍去），

故λ的值為1．

【解析】（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)O，分別以AB，AC，AA1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，利用向量法能求出直線PC與平面A1BC所成的角的正弦值．（2）求出平面PA1C的法向量和平面PA1C的法向量，利用向量法能求出λ的值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．