Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ln（3+x）+ln（3﹣x）．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的定義域；
（Ⅱ）判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）若f（2m﹣1）＜f（m），求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）要使函數(shù)有意義，則，解得﹣3＜x＜3，
故函數(shù)y=f（x）定義域?yàn)椋ī?，3）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋ī?，3），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
對(duì)任意x∈（﹣3，3），則﹣x∈（﹣3，3），
∵f（﹣x）=lg（3﹣x）+lg（3+x）=f（x），
∴由函數(shù)奇偶性可知，函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)．
（Ⅲ）∵函數(shù)f（x）=lg（3+x）+lg（3﹣x）=lg（9﹣x2），
由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷法則知，當(dāng)0≤x＜3時(shí)，函數(shù)y=f（x）為減函數(shù)．
又函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)，
∴不等式f（2m﹣1）＜f（m），等價(jià)于|m|＜|2m﹣1|＜3，
解得﹣1＜m＜或1＜m＜2．
【解析】（Ⅰ）由 ， 求得x的范圍，可得函數(shù)y=f（x）定義域．
（Ⅱ）由于函數(shù)y=f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．且滿足 f（﹣x）=f（x），可得函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)．
（Ⅲ）化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式為lg（4﹣x2），結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，不等式f（m﹣2）＜f（m）等價(jià)于|m|＜|m﹣2|＜2，由此求得m的范圍．
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的定義域及其求法和指、對(duì)數(shù)不等式的解法對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則：①是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù);②是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù);③是偶次根式時(shí)，定義域是使被開(kāi)方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合;④對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于1,零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零；指數(shù)不等式的解法規(guī)律：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化;對(duì)數(shù)不等式的解法規(guī)律：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化．