Question

設(shè)f（n）是定義在N^*上的增函數(shù)，f（4）=5，且滿足：①任意n∈N^*，f（n）∈Z；②任意m，n∈N^*，有f（m）f（n）=f（mn）+f（m+n-1）．
（1）求f（1），f（2），f（3）的值；
（2）求f（n）的表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用已知的表達(dá)式，通過m=1，n=4，直接求f（1），利用函數(shù)的單調(diào)性以及f（n）∈Z，即可求出f（2），f（3）的值；
（2）利用函數(shù)的關(guān)系式，推出f（n+1）≤n+2，又f（n+1）≥n+2，然后求出f（n）的表達(dá)式．

解答： 解：（1）∵f（m）f（n）=f（mn）+f（m+n-1），f（4）=5，
∴f（1）f（4）=f（4）+f（4）．
∴5f（1）=10，∴f（1）=2；
∵f（n）是定義在N^*上的增函數(shù)，
∴2=f（1）＜f（2）＜f（3）＜f（4）
∵f（n）∈Z，
∴f（2）=3，f（3）=4．
（2）∵f（n）是定義在N^*上的增函數(shù)，
∴f（n+1）＞f（n），又f（n）∈Z，
∴f（n+1）≥f（n）+1，又f（1）=2．∴f（n）≥n+1，
由已知可得：f（2）f（n）=f（2n）+f（n+1），
而f（2）=3，f（2n）≥2n+1，
∴3f（n）≥f（n+1）+2n+1，
即f（n+1）≤3f（n）-2n-1或者f（n+1）-n-2≤3（f（n）-n-1）
∴有f（n+1）-n-2≤3（f（n）-n-1）≤3²（f（n-1）-n）≤3³（f（n-2）-n+1）≤…≤3ⁿ（f（1）-2）=0
于是，f（n+1）≤n+2，又f（n+1）≥n+2，
∴f（n+1）=n+2．
又f（1）=2，
∴f（n）=n+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的解析式的應(yīng)用，函數(shù)值的求法，放縮法的應(yīng)用，考查邏輯推理能力以及計(jì)算能力．