Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2-x+alnx（其中a為常數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)a=-2時(shí)，求函數(shù) f（x）的最值；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：分類討論,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出a=-2時(shí)f（x）的導(dǎo)數(shù)，分別令它大于0，小于0，得到函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間，注意定義域，從而得到函數(shù)的極值點(diǎn)，也是最值點(diǎn)；
（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x），通分并配方，對(duì)a進(jìn)行討論，分a≥

1

4

，0＜a＜

1

4

，a≤0三種情況，注意運(yùn)用求根公式，并根據(jù)a的范圍確定兩根的大小，注意定義域?yàn)椋?，+∞），分別求出增區(qū)間和減區(qū)間．

解答： 解：（I）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)a=-2時(shí)f(x)=

1

2

x2-x-2lnx，
f′(x)=x-1-

2

x

=

(x+1)(x-2)

x

，
由f'（x）＜0得0＜x＜2，由f'（x）＞0得x＞2，
∴f（x）在區(qū)間（0，2）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（2，+∞）上單調(diào)遞增，
故當(dāng)x=2時(shí)，f（x）取極小值即為最小值f（2）=-2ln2，f（x）無最大值；
（Ⅱ） f′(x)=x-1+

a

x

=

x2-x+a

x

=

(x- 1 2 )2+a- 1 4

x

，
當(dāng)a≥

1

4

時(shí)，f'（x）≥0恒成立，即f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)a＜

1

4

時(shí)，由f'（x）=0得x²-x+a=0
解得x1=

1- 1-4a

2

，x2=

1+ 1-4a

2

，
當(dāng)0＜a＜

1

4

時(shí)，0＜x₁＜x₂，
由f'（x）＜0得

1- 1-4a

2

＜x＜

1+ 1-4a

2

，
∴f（x）在區(qū)間(

1- 1-4a

2

，

1+ 1-4a

2

)上單調(diào)遞減，
在區(qū)間(0，

1- 1-4a

2

)和(

1+ 1-4a

2

，+∞)上單調(diào)遞增；
當(dāng)a≤0時(shí)，x₁≤0＜x₂，
由f'（x）＜0得0＜x＜

1+ 1-4a

2

即f（x）在區(qū)間(0，

1+ 1-4a

2

)上單調(diào)遞減，
在區(qū)間(

1+ 1-4a

2

，+∞)上單調(diào)遞增； 
綜上，當(dāng)a≥

1

4

時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜a＜

1

4

時(shí)，f（x）在區(qū)間(

1- 1-4a

2

，

1+ 1-4a

2

)上單調(diào)遞減，
在區(qū)間(0，

1- 1-4a

2

)和(

1+ 1-4a

2

，+∞)上單調(diào)遞增；
當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在區(qū)間(0，

1+ 1-4a

2

)上單調(diào)遞減，
在區(qū)間(

1+ 1-4a

2

，+∞)上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合運(yùn)用，注意運(yùn)用開區(qū)間內(nèi)唯一的極值點(diǎn)也是最值點(diǎn)，同時(shí)重點(diǎn)考查分類討論的重要數(shù)學(xué)思想方法，以及求解二次不等式的運(yùn)算能力，是一道中檔題．