Question

選修4-1：幾何證明選講
已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線(xiàn)，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，延長(zhǎng)DA交△ABC的外接圓于點(diǎn)F，連接FB，F(xiàn)C．
（1）求證：FB=FC；
（2）若AB是△ABC外接圓的直徑，∠EAC=120°，BC=6，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠DAC；
∵四邊形AFBC內(nèi)接于圓，∴∠DAC=∠FBC； …（3分）
∵∠EAD=∠FAB=∠FCB，
∴∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC．…（5分）
（2）解：∵AB是圓的直徑，∴∠ACD=90°
∵∠EAC=120°，∴∠DAC=∠EAC=60°，∠D=30°…（7分）
在Rt△ACB中，∵BC=6，∠BAC=60°∴AC=2
又在Rt△ACD中，∠D=30°，AC=2，
∴AD=4 …（10分）
分析：（1）利用AD平分∠EAC，可得∠EAD=∠DAC，利用四邊形AFBC內(nèi)接于圓，可得∠DAC=∠FBC，由此可知FB=FC；
（2）利用AB是圓的直徑，可得∠ACD=90°，結(jié)合∠EAC=120°，可得∠DAC=∠EAC=60°，∠D=30°，從而利用特殊角的三角函數(shù)，即可求得AD的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何證明選講，考查圓的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．