Question

【題目】已知函數(shù)在處的切線方程為.

(1)求函數(shù)的解析式；

(2)若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)根,求實(shí)數(shù)的值；

(3)數(shù)列滿(mǎn)足.

證明：①；

②.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）把x=3代入切線方程，求出切點(diǎn)，把切點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)得關(guān)于a，b方程，再由得另一方程，聯(lián)立求解a，b的值，則函數(shù)解析式可求；

（2）把（1）中求出函數(shù)f（x）的解析式代入方程f（x）=k ex，然后轉(zhuǎn)化為k=e﹣x（x2﹣x+1），然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，根據(jù)函數(shù)的極值情況，通過(guò)畫(huà)簡(jiǎn)圖得到使方程k=e﹣x（x2﹣x+1），即方程f（x）=k ex恰有兩個(gè)不同的實(shí)根時(shí)的實(shí)數(shù)k的值；

（3）①利用作差法證明即可；（2）由得到，分別取n=1，2，…，代入后化簡(jiǎn)，則的整數(shù)部分可求．

(1),依題設(shè),有即，

解得，

∴.

(2)方程,即,得,

記,

則.

令,得 .

∴當(dāng)時(shí),取極小值；當(dāng)時(shí),取極大值.

作出直線和函數(shù)的大致圖象,可知當(dāng)或時(shí),

它們有兩個(gè)不同的交點(diǎn),因此方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)根.

(3)①證明,得,又.

∴,

∴.

②由,得,

,

即：,

.