Question

【題目】已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；

（2）若，求證：.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，極大值，當(dāng)時(shí)，極小值；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）首先求出導(dǎo)函數(shù)，將代入，求出的正負(fù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極值的定義即可求解.

（2）由（1）知，當(dāng)，時(shí)，可得，即，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，即，證出，進(jìn)而證出不等式.

（1）因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)時(shí)，，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值.

（2）由（1）知，當(dāng)，時(shí)，

函數(shù)在時(shí)取得極小值，即最小值，

所以，化簡(jiǎn)可得，

令，則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以，所以，

從而可得，

因?yàn)椴坏仁降膬蓚�(gè)等號(hào)不同時(shí)成立，所以.