Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2006^x+log₂x，則在R上f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：依題意，構(gòu)造函數(shù)g（x）=2006^x，h（x）=-log₂x=log

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x，在在同一坐標(biāo)系中，作出二函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上的圖象，利用函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，判斷即可得到答案．

解答： 解：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2006^x+log₂x=0得：2006^x=-log₂x=log

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x，
令g（x）=2006^x，h（x）=-log₂x=log

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2

x，
在同一坐標(biāo)系中，作出二函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上的圖象，

∵x＞0時(shí)，f（x）=2006^x+log₂x，為區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù)，
∴由圖知，f（x）=2006^x+log₂x=0在（0，+∞）上有一個(gè)零點(diǎn)；
又f（x）=2006^x+log₂x為定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0且f（x）=2006^x+log₂x在區(qū)間（-∞，0）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
綜上所述，在R上f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)，
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，考查作圖與識(shí)圖能力，屬于中檔題．