Question

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}，f（x）＞0．滿足f（x•y）=f（x）•f（y），且在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)a滿足f（log₂a）+f（log 

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2

a）≤2f（1），則a的取值范圍是（　　）

• A、[1，2]
• B、（0，

  1

  2

  ]
• C、[

  1

  2

  ，1﹚∪（1，2]
• D、（0，1）∪（1，2]

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由條件令x=y=1可得f（1）=1．令x=y=-1，則f（-1）=1．令y=-1，則f（-x）=f（x）f（-1）=f（x），即有f（x）為偶函數(shù)，原不等式即為2f（log₂a）≤2f（1），則f（|log₂a|）≤f（1），由于f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，則|log₂a|≤1，且log₂a≠0，解出即可．

解答： 解：由于f（x•y）=f（x）•f（y），f（x）＞0，
則令x=y=1可得f（1）=f2（1），即有f（1）=1．
令x=y=-1，則f（1）=f2（-1）=1，則f（-1）=1．
令y=-1，則f（-x）=f（x）f（-1）=f（x），即有f（x）為偶函數(shù)，
由f（log₂a）+f（log 

1

2

a）≤2f（1），即為f（log₂a）+f（-log₂a）≤2f（1），
即2f（log₂a）≤2f（1），
則f（|log₂a|）≤f（1），
由于f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，
則|log₂a|≤1，且log₂a≠0解得

1

2

≤a＜1或1＜a≤2．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及應(yīng)用，考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及運(yùn)用，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，及解對(duì)數(shù)不等式的能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．