Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為定值，記的軌跡為．

（1）求的方程，并畫(huà)出的簡(jiǎn)圖；
（2）點(diǎn)是圓上第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過(guò)作圓的切線交軌跡于，兩點(diǎn)．
（i）證明：；
（ii）求的最大值．

Answer 1

（1），C的圖象是橢圓．
（2）（i） 。(ii)當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)取最大值2

解析試題分析：（1）設(shè)，由題動(dòng)點(diǎn)M滿足：         1分

其中：，
...2分
代入，化簡(jiǎn)得：
C的圖象是橢圓，如圖所示．          4分
（2）（i）設(shè)，
則          5分
         6分
即                       7分
(ii)解法一、設(shè)切線為，由題與圓相切，得，
8分
再由，得         9分
          10分
由（i）知，所以
11分
又                      . 2分
，當(dāng)時(shí)，取最大值2         13分
的最大值為2．          ...14分
解法二、
由（i）同理得，則
又
當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)取最大值2
考點(diǎn)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì)，直線與圓、直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)公式。
點(diǎn)評(píng)：中檔題，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì)，a,b,c,e的關(guān)系。曲線關(guān)系問(wèn)題，往往通過(guò)聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題，一般要利用韋達(dá)定理，簡(jiǎn)化解題過(guò)程。本題“幾何味”較濃，應(yīng)認(rèn)真分析幾何特征。