Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，an+1=(

2

-1)(an+2)，n=1，2，3，…
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}中，b₁=2，bn+1=

3bn+4

2bn+3

，n=1，2，3，…，證明：

2

＜bn≤a4n-3，n=1，2，3，…

Answer 1

分析：（Ⅰ）先對an+1=(

2

-1)(an+2)進行整理可得到an+1-

2

=(

2

-1)(an-

2

)，即數(shù)列{an-

2

}是首項為2-

2

，公比為

2

-1的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的通項公式可得到an-

2

=

2

(

2

-1)n，進而得到an=

2

[(

2

-1)n+1]．
（Ⅱ）用數(shù)學歸納法證明．當n=1時可得到b₁=a₁=2滿足條件，然后假設(shè)當n=k時滿足條件進而得到0＜bk-

2

≤a4k-3-

3

當n=k+1時再對bk+1-

2

=

3bk+4

2bk+3

-

2

進行整理得到bk+1-

2

=

(3-2 2 )(bk- 2 )

2bk+3

＜(3-2

2

)2(bk-

2

)≤(

2

-1)4(a4k-3-

2

)=a4k+1-

2

，進而可得證．

解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)：an+1=(

2

-1)(an+2)=(

2

-1)(an-

2

)+(

2

-1)(2+

2

)=(

2

-1)(an-

2

)+

2

，an+1-

2

=(

2

-1)(an-

2

)．
所以，數(shù)列{an-

2

}是首項為2-

2

，公比為

2

-1的等比數(shù)列，an-

2

=

2

(

2

-1)n，
即a_n的通項公式為an=

2

[(

2

-1)n+1]，n=1，2，3，．
（Ⅱ）用數(shù)學歸納法證明．
（�。┊攏=1時，因

2

＜2，b₁=a₁=2，所以

2

＜b1≤a1，結(jié)論成立．
（ⅱ）假設(shè)當n=k時，結(jié)論成立，即

2

＜bk≤a4k-3，
也即0＜bk-

2

≤a4k-3-

3

．
當n=k+1時，bk+1-

2

=

3bk+4

2bk+3

-

2

=

(3-2 2 )bk+(4-3 2 )

2bk+3

=

(3-2 2 )(bk- 2 )

2bk+3

＞0，
又

1

2bk+3

＜

1

2 2 +3

=3-2

2

，
所以bk+1-

2

=

(3-2 2 )(bk- 2 )

2bk+3

＜(3-2

2

)2(bk-

2

)≤(

2

-1)4(a4k-3-

2

)=a4k+1-

2

．
也就是說，當n=k+1時，結(jié)論成立．
根據(jù)（�。┖停áⅲ┲�

2

＜bn≤a4n-3，n=1，2，3，．

點評：本題主要考查求數(shù)列的通項公式的方法--構(gòu)造法和數(shù)學歸納法的一般過程．考查綜合運用能力和計算能力．