Question

已知函數(shù)f（x）=A•cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）+f（x+π），求F（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）由圖象求出A，ω，x=

π

2

時2cos(

1

2

•

π

2

+φ)=0，求出φ，解得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）化簡函數(shù)F（x）=f（x）+f（x+π），利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求F（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答：解：（1）∵f（x）=Acos（ωx+φ），由圖象知A=2，

2π

ω

=2(

3π

2

+

π

2

)，∴ω=

1

2

又x=

π

2

時，即2cos(

1

2

•

π

2

+φ)=0，∴φ=kπ+

π

4

(k∈Z)．
∵0＜φ＜π，∴φ=

π

4

．
∴f(x)=2cos(

1

2

x+

π

4

)．（6分）
（2）F(x)=f(x)+f(x+π)=2cos(

1

2

x+

π

4

)-2sin(

1

2

x+

π

4

)=-2

2

sin

x

2

要使F（x）單調(diào)遞減，則y=sin

x

2

要單調(diào)遞增．
由2kπ-

π

2

＜

1

2

x＜2kπ+

π

2

(k∈Z)，得(4k-1)π＜x＜(4k+1)π(k∈Z).
∴F（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（4k-1）π，（4k+1）π（k∈Z）．（12分）

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查分析問題解決問題的能力，是好題．