Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，對(duì)于任意的n≥2，n∈N₊，S_n+1+S_n-1=2（S_n+1）都成立，則S_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由S_n+1+S_n-1=2（S_n+1），得S_n+1-S_n=S_n-S_n-1+2，可判斷{S_n+1-S_n}是首項(xiàng)為S₂-S₁=2，公差為2的等差數(shù)列，從而S_n+1-S_n=2+（n-1）×2=2n，然后利用累加法可求答案．

解答： 解：由S_n+1+S_n-1=2（S_n+1），得S_n+1-S_n=S_n-S_n-1+2，
∴{S_n+1-S_n}是首項(xiàng)為S₂-S₁=2，公差為2的等差數(shù)列，
∴S_n+1-S_n=2+（n-1）×2=2n，
則n≥2時(shí)，S₂-S₁=2，S₃-S₂=4，…，S_n-S_n-1=2（n-1），
累加，得S_n-S₁=2+4+…+2（n-1）=

(n-1)2n

2

=n2-n，
∴sn=n2-n+1，又s₁=1適合上式，
故sn=n2-n+1，
故答案為：n²-n+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項(xiàng)，累加法求數(shù)列的通項(xiàng)是常用方法，要熟練掌握．