Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1(0≤x≤2) x-1(2＜x≤4)

，g（x）=f（x）-ax，x∈[0，4]，其中a∈（0，1），記函數(shù)g（x）的最大值與最小值的差為h（a），則h（a）的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計(jì)算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先化簡g（x）的解析式，當(dāng)0≤a≤1時(shí)，求出最大值與最小值的差為h（a），對(duì)a討論，求出h（a）的解析式，運(yùn)用一次函數(shù)的單調(diào)性，即可求出y=h（a）的最小值．

解答： 解：由a∈（0，1），
若0≤x≤2，
則g（x）=f（x）-ax=1-ax在[0，2]上單調(diào)遞減，
則g（0）取得最大，且為1，g（2）取得最小值，且為1-2a；
若2＜x≤4，
則g（x）=f（x）-ax=x-1-ax=（1-a）x-1在（2，4]上單調(diào)遞增，
故g_max（x）=g（4）=3-4a．
又∵g（2）=1-2a，g（4）=3-4a；
g（4）-g（2）=2-2a，g（4）-g（0）=2-4a，
故當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g（4）＞g（2）．
g_max（x）=g（4）=3-4a，
故當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，
g_max（x）=g（4）=3-4a，
當(dāng)

1

2

≤a＜1時(shí)，
g_max（x）=g（0）=1；
故h（a）=

2-2a，0＜a＜ 1 2 2a， 1 2 ≤a＜1

，
故函數(shù)h（a）的值域?yàn)閇1，2）．
h（a）的最小值是1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查求函數(shù)的最大值、最小值的方法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．