Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx-lnx，a，b∈R．
（Ⅰ）若a=2，b=3，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=3x，求a，b的值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負，可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）利用曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=3x，可得f（1）=a+b=3，f′（1）=2a+b-1=3，即可求出a，b的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2x²+3x-lnx，（x＞0）
∴f′（x）=4x+3-

1

x

=

(x+1)(4x-1)

x

由f′（x）＞0可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

1

4

，+∞）；由f′（x）＜0可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，

1

4

）；
（Ⅱ）f′（x）=2ax+b-

1

x

，
∵曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=3x，
∴f（1）=a+b=3，f′（1）=2a+b-1=3，
∴a=1，b=2．

點評：本小題主要考查直函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．屬于中檔題．