Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上有兩點(diǎn)A、B，直線l：y=x+k上有兩點(diǎn)C、D，四邊形ABCD是正方形，此正方形外接圓的方程為x²+y²-2y-8=0，求橢圓C及直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：直線AB的方程設(shè)為y=x+m，圓心O（0，1）到直線AB的距離

|1-0+m|

2

=

3 2

2

，解得m=4或m=-2．由此利用分類討論思想能求出橢圓C及直線l的方程．

解答： 解：∵ABCD為正方形，CD在直線l：y=x+k上，
∴直線AB的方程設(shè)為y=x+m，
圓x²+y²-2y-8=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x²+（y-1）²=9，
圓心O（0，1），半徑r=3，
∵ABCE是圓O的內(nèi)接正方形
∴圓心O（0，1）到直線AB的距離為

3 2

2

，
由點(diǎn)到直線的距離公式得

|1-0+m|

2

=

3 2

2

，
解得m=4或m=-2．
①當(dāng)m=4時(shí)，直線AB與圓O聯(lián)立

y=x+4 x2+(y-1)2=9

，
解得交點(diǎn)A（-3，1），B（4，0）
代入橢圓橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，解得a=

12

15

，b=4，
∵a＜b，∴不合題意，舍去．
②當(dāng)m=-2時(shí)，直線AB與圓O聯(lián)立

y=x-2 x2+(y-1)2=9

，
解得交點(diǎn)A（0，-2），B（3，1）
代入橢圓橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，解得a=2

3

，b=2
∴橢圓C：

x2

12

+

y2

4

=1，
∵直線l和直線AB平行且到O的距離均為

3 2

2

，且不重合，
∴m=-2，k=4
∴直線l：y=x+4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程及直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式和分類討論思想的合理運(yùn)用．