Question

已知雙曲線x²-

y2

3

=1上存在兩點(diǎn)M，N關(guān)于直線y=x+m對(duì)稱，且MN的中點(diǎn)在拋物線y²=18x上，則實(shí)數(shù)m的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì),雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意可得MN的斜率-1，設(shè)直線MN：y=-x+b，把MN的方程代入拋物線方程利用韋達(dá)定理、中點(diǎn)公式求出MN中點(diǎn)（-

m

4

，

3

4

m），利用MN的中點(diǎn)在拋物線y²=18x上，即可求得實(shí)數(shù)m的值．

解答： 解：∵M(jìn)N關(guān)于y=x+m對(duì)稱，∴MN的垂直平分線y=x+m，故MN的斜率-1．
MN中點(diǎn)P（x₀，x₀+m）在y=x+m上，且在MN上，
設(shè)直線MN：y=-x+b，∵P在MN上，∴x₀+m=-x₀+b，∴b=2x₀+m．
由

y=-x+b x2- y2 3 =1

  消元可得：2x²+2bx-b²-3=0，
∴M_x+N_x=2x₀=-b，∴x₀=-

b

2

，∴b=

m

2

，∴MN中點(diǎn)P（-

m

4

，

3

4

m）．
∵M(jìn)N的中點(diǎn)在拋物線y²=18x上，∴

9

16

•m2=-

9

4

m，求得m=0，或m=-8，
故答案為：0，或-8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查對(duì)稱性，考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，解題的關(guān)鍵是確定MN中點(diǎn)P的坐標(biāo)，屬于中檔題．