如圖，在高為4的長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長為2的正方形，則直線AB₁與DA₁所成角的余弦值是

A.
$數(shù)學公式$
B.
$數(shù)學公式$
C.
$數(shù)學公式$
D.
$數(shù)學公式$

C
分析：連接B₁C，AC，由正方體的幾何特征，可得∠AB₁C即為直線AB₁與DA₁所成角，根據(jù)已知中長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的高為4，底面ABCD是邊長為2的正方形，求出△AB₁C中各邊的長，解△AB₁C即可得到直線AB₁與DA₁所成角的余弦值．
解答：連接B₁C，AC
由正方體的幾何特征，可得AB₁∥B₁C
則∠AB₁C即為直線AB₁與DA₁所成角
∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的高為4，底面ABCD是邊長為2的正方形，
則AB₁=B₁C=2 $\text{[math]}$ ，AC=2 $\text{[math]}$
∴cos∠AB₁C= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故選C
點評：本題考查的知識點是異面直線及其所成的角，其中結(jié)合正方體的幾何特征得到∠AB₁C即為直線AB₁與DA₁所成角，是解答本題的關(guān)鍵．

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有一塊邊長為4的正方形鋼板，現(xiàn)對其進行切割、焊接成一個長方體形無蓋容器（切、焊損耗忽略不計）．有人應用數(shù)學知識作了如下設計：如圖（a），在鋼板的四個角處各切去一個小正方形，剩余部分圍成一個長方體，該長方體的高為小正方形邊長，如圖（b）．
（1）請你求出這種切割、焊接而成的長方體的最大容積V₁；
（2）由于上述設計存在缺陷（材料有所浪費），請你重新設計切、焊方法，使材料浪費減少，而且所得長方體容器的容積V₂＞V₁．

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