Question

已知函數(shù)的導函數(shù)是二次函數(shù)，當時，有極值，且極大值為2，.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)，若存在實數(shù)，使得，求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

解析試題分析：（1）先通過函數(shù)的導函數(shù)是二次函數(shù)，且當時，有極值將函數(shù)的導函數(shù)設(shè)出來：.從而可設(shè)，其中為常數(shù).再由極大值為2及將求出.注意，極大值為2，即或時，函數(shù)值為2.結(jié)合正好可以將其中一種情況舍去,從而解出,于是得到函數(shù)的解析式；（2）由，列出表格，分析函數(shù)的單調(diào)性和極值.有兩個零點，即方程有兩個根，而，即方程與方程各只有一個解.結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和極值，發(fā)現(xiàn)方程只有當或時才只有一個解.所以有或或，從而解得或；（3）由于存在實數(shù)，使得，也就是說，否則就不存在實數(shù)，使得.因此本題轉(zhuǎn)化為求在上的最大值與最小值.根據(jù)條件可得，所以其導函數(shù).然后討論的范圍以得到在上單調(diào)性，從而找出最值.再通過不等式得到的取值范圍.注意當時比較麻煩，在上先減后增，，而最大值無法確定是中的哪一個，所以我們用來表示不等式.
試題解析：（1）由條件，可設(shè)，則，其中為常數(shù).
因為極大值為2.所以或，即或.由得①.所以，即②.由①②可得，.所以.
（2）由（1），得，即.列表：