Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=sinxcosx-cos²x，給出下列命題：
①f（x）的最小正周期為2π；
②f（x）在區(qū)間(0，

π

8

)上為增函數(shù)；
③直線(xiàn)x=

3π

8

是函數(shù)f（x）圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸；
④函數(shù)f（x）的圖象可由函數(shù)f(x)=

2

2

sin2x的圖象向右平移

π

8

個(gè)單位得到；
⑤對(duì)任意x∈R，恒有f(

π

4

+x)+f(-x)=-1．
其中正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),簡(jiǎn)易邏輯

分析：利用降冪把三角函數(shù)解析式化為y=Asin（ωx+φ）+k的形式，然后直接由周期公式求周期判斷①；
求出三角函數(shù)的增區(qū)間判斷②；把x=

3π

8

代入函數(shù)f（x）的解析式求解函數(shù)值判斷③；利用函數(shù)圖象的平移求得函數(shù)解析式判斷④；直接代入驗(yàn)證判斷⑤．

解答： 解：函數(shù)f（x）=sinxcosx-cos²x
=

1

2

sin2x-

1+cos2x

2

=

1

2

(sin2x-cos2x)-

1

2

=

2

2

sin(2x-

π

4

)-

1

2

．
∴T=π．
∴命題①錯(cuò)誤；
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z．
解得：-

π

8

+kπ≤x≤

3π

8

+kπ，k∈Z．
取k=0，得-

π

8

≤x≤

3π

8

．
∴f（x）在區(qū)間(0，

π

8

)上為增函數(shù)．
∴命題②正確；
取x=

3π

8

，得f（x）=

2

2

sin(2×

3π

8

-

π

4

)-

1

2

=

2 -1

2

為函數(shù)的最大值，
∴直線(xiàn)x=

3π

8

是函數(shù)f（x）圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸．
∴命題③正確；
函數(shù)f(x)=

2

2

sin2x的圖象向右平移

π

8

個(gè)單位，得到f(x)=

2

2

sin2(x-

π

8

)=

2

2

sin(2x-

π

4

)．
∴命題④錯(cuò)誤；
對(duì)任意x∈R，f(

π

4

+x)+f(-x)=

2

2

sin[2×(

π

4

+x)-

π

4

]-

1

2

+

2

2

sin(-2x-

π

4

)-

1

2

=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

2

2

sin(-2x-

π

4

)-1=-1．
∴命題⑤正確．
∴正確命題的序號(hào)是②③⑤．
故答案為：②③⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，綜合考查三角恒等變換、三角函數(shù)的性質(zhì)，是中檔題．