Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若過點恰有兩條直線與曲線相切，求的值；

（Ⅱ）用表示中的最小值，設(shè)函數(shù)，若恰有三個零點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求得 的過點的切線方程，構(gòu)造輔助函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類討論即可得a的值;

（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的定義求，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點的判斷，采用分類討論法，求得函數(shù)零點的個數(shù)，即可求得恰有三個零點，求實數(shù)的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）∵，∴，

設(shè)切點為，則該點處的切線方程為，

又∵切線過點，∴，

整理得， ，（*）

依題設(shè)，方程（*）恰有兩個不同的解，

令，則，

解得，

①當(dāng)時， 恒成立， 單調(diào)遞增，至多只有一個零點，不合題設(shè)；

②當(dāng)時，則為的極值點，若恰有兩個不同的解，

則或，又∵，

，∴或.

令，則，

解得，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

又∵， ∴當(dāng)且時， 無解. ∴.

（Ⅱ）∵，

∴當(dāng)時，解得.

由（Ⅰ）知， ，

當(dāng)時， ；當(dāng)或時， ，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

∴當(dāng)時， ，當(dāng)時， .

∵， ∴，

∴當(dāng)時， ， 在上單調(diào)遞減，

∵，∴.

∴當(dāng)時， ，當(dāng)時， ，

此時恰有三個零點.

當(dāng)時， ，解得，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴，當(dāng)時， ，此時不合題意；

當(dāng)時， 恰有一個零點，此時符合題意；

當(dāng)時， ， ，

又∵，當(dāng)時， .

∴在上有兩個零點，此時在上有4個零點，不合題設(shè).

綜上， 的取值范圍是.

點晴:本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性.確定零點的個數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點個數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識確定極值點和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象.方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理. 恒成立問題以及可轉(zhuǎn)化為恒成立問題的問題，往往可利用參變分離的方法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值處理．也可構(gòu)造新函數(shù)然后利用導(dǎo)數(shù)來求解.注意利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.