Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為AB₁，BC₁上兩點，且B₁E=C₁F，求證：
（1）EF∥平面ABC；
（2）平面ACD₁∥平面A₁BC₁．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,平面與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知：如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么直線和這個平面平行，故只需在平面ABCD中找到與EF平行的直線即可；
（2）先證明A₁C₁∥平面A₁BC₁，同理，得A₁B∥平面A₁BC₁，從而命題得證．

解答： 證明：（1）分別過E、F作EM⊥AB于點M，F(xiàn)N⊥BC于點N，連接MN．
∵BB₁⊥平面ABCD，
∴BB₁⊥AB，BB₁⊥BC．
∴EM∥BB₁，F(xiàn)N∥BB₁．∴EM∥FN．
又B₁E=C₁F，∴EM=FN．
故四邊形MNFE是平行四邊形．
∴EF∥MN．又MN在平面ABCD中，
∴EF∥平面ABCD．
（2）

如圖所示，連接A₁B、A₁C、AD₁、CD₁、BC₁、如圖，
則AC∥A₁C₁，又因為AC?平面A₁BC₁，
∴A₁C₁∥平面A₁BC₁，
同理，得A₁B∥平面A₁BC₁，
∴平面ACD₁∥平面A₁BC₁．

點評：本題重點考查了空間中直線與直線平行、直線與平面平行、平面和平面平行的判定和性質(zhì)等知識，屬于中檔題，解題關鍵是熟練運用判定和性質(zhì)定理進行解題．