Question

已知曲線M上動點N滿足到點F（0，

5

4

）的距離等于到定直線y=

3

4

的距離，又過點P（1，3）的直線交此曲線于A，B兩點，過A，B分別做曲線M的兩切線l₁，l₂．
（1）求此曲線M的方程；
（2）當(dāng)過點P（1，3）的直線變化時，證明l₁，l₂的交點過定直線；
（3）設(shè)l₁，l₂的交點為C，求三角形ABC面積的最值．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出曲線上N點的坐標(biāo)，由題意列出等式，整理后可得曲線方程；
（2）設(shè)出直線AB的方程，和拋物線方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的方程，利用根與系數(shù)關(guān)系求得A，B兩點橫坐標(biāo)的和與積，由導(dǎo)數(shù)求得l₁，l₂的方程，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系可得l₁，l₂的交點過定直線；
（3）由（2）得C（

k

2

，k-1），求出C到直線AB：y=k（x-1）+3的距離，求得|AB|，代入三角形的面積公式后配方可得三角形ABC面積有最小值2，沒有最大值．

解答： （1）解：設(shè)曲線上的點N坐標(biāo)為（x，y），由已知條件有：

x2+(y- 5 4 )2

=|y-

3

4

|，化簡得y=x²+1，
∴曲線M方程為：y=x²+1；
（2）證明：∵過點P的直線交此曲線M于A，B兩點，
∴直線AB的斜率存在，設(shè)為k，
故直線AB方程為：y=k（x-1）+3，聯(lián)立y=x²+1 消去y得：x²-kx+k-2=0，
顯然△=（-k）²-4（k-2）=（k-2）²+4＞0，記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則：x₁+x₂=k，x₁x₂=k-2，
于是l₁：y-y1=f′(x1)(x-x1)=2x1(x-x1)，即l₁：y=2x₁x-kx₁+k-1 ①，
同理有l(wèi)₂：y=2x₂x-kx₂+k-1 ②，
由①②消去x₁，x₂可得：x=

k

2

，y=k-1，
∴l(xiāng)₁，l₂的交點過定直線y=2x-1；
（3）解：由（2）得C（

k

2

，k-1），
∴C到直線AB：y=k（x-1）+3的距離為：
d=

|k( k 2 -1)+3-(k-1)|

1+k2

=

(k-2)2+4

2 1+k2

．
又|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

(k-2)2+4

，
∴S△ABC=

1

2

•d•|AB|=

1

4

(k-2)2+4

•[(k-2)2+4]．
故k=2時，三角形ABC面積有最小值2，沒有最大值．

點評：本題考查了軌跡方程的求法，考查了直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，訓(xùn)練了利用配方法求函數(shù)的最值，是壓軸題．